Công thức nguyên hàm không thể thiếu trong bộ môn giải tích lớp 12, cũng là một trong những khái niệm xuất hiện khá nhiều trong đề thi đại học.

Ở bài viết trước PUD đã chia sẻ công thức lượng giác. Ở bài viết này chúng tôi sẽ tiếp tục chia sẻ bảng công thức nguyên hàm cơ bản, từng phần, mở rộng, nâng cao.

Khái niệm và tính chất của nguyên hàm

Khái niệm nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.R.

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x)f(x) xác định trên K.

Hàm số F(x)F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K nếu F′(x)=f(x)F′(x)=f(x) với mọi x∈K.x∈K.

Định lý 1:

Nếu F(x)F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+CG(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K.

Định lý 2:

Nếu F(x)F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x)f(x) trên K đều có dạng F(x)+CF(x)+C với CC là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f(x)f(x) là ∫f(x)dx.∫f(x)dx.

Khi đó : ∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R.

Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1: ∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R.∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R.
Tính chất 2: ∫fk(x)dx=k∫f(x)dx∫fk(x)dx=k∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0).
Tính chất 3: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

∫kdx=kx+C,k∈R∫kdx=kx+C,k∈R

∫xαdx=11+α.xα+1+C(α≠–1)∫xαdx=11+α.xα+1+C(α≠–1)

∫dxx=ln|x|+C∫dxx=ln⁡|x|+C

∫dx√x=2√x+C∫dxx=2x+C

∫exdx=ex+C∫exdx=ex+C

∫axdx=axlna+C(0<a≠1)∫axdx=axln⁡a+C(0<a≠1)

∫cosxdx=sinx+C∫cos⁡xdx=sin⁡x+C

∫sinxdx=–cosx+C∫sin⁡xdx=–cos⁡x+C

∫dxcos2x=tanx+C∫dxcos2x=tan⁡x+C

∫dxsin2x=–cotx+C∫dxsin2x=–cot⁡x+C

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác

∫(ax+b)kdx=1a(ax+b)k+1k+1+C,(a≠0,k≠–1)∫(ax+b)kdx=1a(ax+b)k+1k+1+C,(a≠0,k≠–1)

∫1ax+bdx=1aln|ax+b|+C,a≠0∫1ax+bdx=1aln⁡|ax+b|+C,a≠0

∫eax+bdx=1aeax+b+C∫eax+bdx=1aeax+b+C

∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C∫cos(ax+b)dx=1asin⁡(ax+b)+C

∫sin(ax+b)dx=–1acos(ax+b)+C

Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u=u(x)u=u(x) có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số y=f(u)y=f(u) liên tục sao cho f[u(x)]f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu FF là một nguyên hàm của ff, tức là ∫f(u)du=F(u)+C∫f(u)du=F(u)+C thì ∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C.∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C.

Hệ quả:

Với u=ax+b(a≠0),u=ax+b(a≠0), ta có:

∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C∫f(ax+b)dx=1aF(ax+b)+C

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số u=u(x)u=u(x) và v=v(x)v=v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)–∫u′(x)v(x)dx

Một số dạng thường gặp

Dạng 1: ∫P(x).eax+bdx,∫P(x)sin(ax+b)dx,∫P(x)cos(ax+b)dx∫P(x).eax+bdx,∫P(x)sin⁡(ax+b)dx,∫P(x)cos(ax+b)dx

Cách giải: Đặt u=P(x),dv=eax+bdxu=P(x),dv=eax+bdx hoặc dv=sin(ax+b)dx,dv=cos(ax+b)dx.dv=sin⁡(ax+b)dx,dv=cos⁡(ax+b)dx.

Dạng 2: ∫P(x)ln(ax+b)dx∫P(x)ln⁡(ax+b)dx

Cách giải: Đặt u=ln(ax+b),dv=P(x)dx.u=ln⁡(ax+b),dv=P(x)dx.

Bảng công thức nguyên hàm

Công thức nguyên hàm cơ bản

cong thuc nguyen ham co ban

Công thức nguyên hàm mở rộng

cong thuc nguyen ham mo rong
cac cong thuc nguyen ham

Công thức nguyên hàm từng phần

cong thuc nguyen ham tung phan

Công thức nguyên hàm nâng cao

cong thuc nguyen ham nang cao

Trên đây PUD đã tổng hợp đầy đủ bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng, nâng cao mà chúng tôi tổng hợp giúp bạn nắm bắt kiến thức mới cũng như hệ thống lại kiến thức cũ tốt nhất. Nếu bạn còn câu hỏi hãy đặt ở bên dưới nhé.