Bất đẳng thức tam giác, công thức và bài tập vận dụng

Bạn đang tìm hiểu về bất đẳng thức tam giác? Chứng minh bất đẳng thức tam giác? Những bài tập cơ bản về bất đẳng thức? Cùng nhau tham khảo bài viết dưới đây để củng cố kiến thức, giải đáp mọi thắc mắc về phần toán học 7 này nhé.

Bất đẳng thức tam giác là gì?

Bất đẳng thức tam giác là gì? Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại.

Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong.

Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn và các không gian metric.

Công thức bất đẳng thức tam giác

Dưới đây, chúng tôi xin tổng hợp các công thức bất đẳng thức tam giác, mời các bạn cùng tham khảo nhé.

Tính chất:

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại

Tam giác ABC có ba cạnh lần lượt là AB, BC, AC. Ta có:

|AB−AC| < BC < |AB+AC |, |AB−AC |< BC < |AB+AC |

  Hệ quả

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ luôn bé hơn độ dài cạnh còn lại.

Với tam giác ABC, ta có:

AB > AC− BC, AB >AC−BC

BC>AB−AC, BC>AB−AC

AC>AB−BC, AC>AB−BC

Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn lớn hơn hiệu và bé hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

Chứng minh bất đẳng thức tam giác

Cách chứng minh bất đẳng thức tam giác rất đơn giản. Mời các bạn cùng theo dõi cụ thể:

Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AC. Trong tam giác BCD, ta sẽ so sánh BD với BC.

Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên

CB < CA < CD (1)CB < CA < CD (1)

Mặt khác, theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A nên CA=DA, CA=DA (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

CB<DA<CD (3)CB<DA<CD (3)

Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra :

AB+AC=BD >BC ,AB+AC=BD>BC(điều phải chứng minh)

Bài tập về bất đẳng thức tam giác

Để giúp các bạn hiểu rõ hơn về bất đẳng thức tam giác, ngay dưới đây, chúng tôi xin cập nhật một số bài tập về bất đẳng thức tam giác cơ bản, mời các bạn cùng tham khảo nhé.

Trong BĐT tam giác, các bạn sẽ được học về ba dạng toán chính là:

Bài 1: Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.

Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải:

Theo bất đẳng thức tam giác ABC ta có:

AC – BC < AB < AC + BC

Thay BC = 1cm, AC = 7cm, ta được:

7 – 1 < AB < 7 + 1

6 < AB < 8 (1)

Vì độ dài AB là một số nguyên (cm) thỏa mãn (1) nên AB = 7cm

Vì AB = AC = 7cm nên ΔABC cân tại A

Bài 2 Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.

a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.

b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.

c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.

Lời giải:

Giải bài tập SGK Toán lớp 7 bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

a) Trong ΔAMI ta có: MA < MI + IA

Cộng MB vào hai vế ta được:

MA + MB < MB + MI + IA

Vì MB + MI = IB nên MA + MB < IB + IA (1) (đpcm)

b) Trong ΔBIC ta có: IB < IC + CB

Cộng IA vào hai vế ta được:

IB + IA < IA + IC + CB

Vì IA + IC = CA nên IB + IA < CA + CB (2) (đpcm)

c) Từ (1) và (2) và theo tính chất bắc cầu ta suy ra:

MA + MB < CA + CB (đpcm)

Hy vọng với những thông tin về bất đẳng thức tam giác dưới đây sẽ giúp bạn giải đáp được một số bài tập khó liên quan. Chúng tôi luôn đồng hành, chia sẻ những kiến thức về các bộ môn, các bạn chớ bỏ lỡ nhé.

Toán Học - Tags:
Sitemap | Mail