Đường trung trực của đoạn thẳng là phần kiến thức quan trọng các em được tìm hiểu trong chương trình Toán lớp 7. Vậy định nghĩa về đường trung trực của đoạn thẳng là gì, tính chất cũng như các dạng toán của nó ra sao. Các em hãy cùng PUD tìm hiểu qua bài viết sau đây.

Đường trung trực của đoạn thẳng là gì?

Đường trung trực của đoạn thẳng là 1 đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng và đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đoạn thẳng đó

Các tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Định lí 1:

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

GT : d là trung trực  của AB

M∈d

KL : MA=MB

Định lí 2:

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó

3. Nhận xét

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng

Từ định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng và tính chất đã có, hãy chứng minh đường trưng trực của đoạn thẳng?

  • Xét trường hợp I thuộc AB. Vì IA = IB nên I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Suy ra I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
  • Xét trường hợp I không thuộc AB. Kẻ đoạn thẳng nối I với trung điểm M của đoạn thẳng AB.

Ta có:

(Delta AMI=Delta BMI) (c.c.c).

Suy ra (widehat{M_{1}}=widehat{M_{2}})

Mặt khác: (widehat{M_{1}}+widehat{M_{2}}=180^{0})

Suy ra: (widehat{M_{1}}=widehat{M_{2}}=90^{0})

=> (IMperp AB)

=> IM là đường trung trực của AB

=> I nằm trên đường trung trực AB

* Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có:

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Các dạng toán về đường trưng trực của đoạn thẳng

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp giải:

Để chứng minh đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, ta cần chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc có thể sử dụng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải:

Để giải dạng toán này, ta cần dùng định lý sau: “Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai mút của đoạn thẳng đó”.

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải:

  • Ta cần sử dụng tính chất của đường trung trực nhằm thay độ dài của đoạn thẳng thành độ dài của đoạn thẳng khác bằng với nó.
  • Ta sử dụng bất đẳng thức của tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Phương pháp giải:

  • Ta cần dùng tính chất giao điểm của các đường trung trực của tam giác.
  • Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác sẽ cùng đi qua một điểm. Điểm này sẽ cách đều ba đỉnh của tam giác đã cho.

Dạng 5: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác cân

Phương pháp giải:

Ta cần lưu ý ở tam giác cân thì đường trung trực của cạnh đáy đồng thời chính là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy.

Dạng 6: Bài toán về đường trung trực đối với tam giác vuông

Phương pháp giải:

Ta cần ghi nhớ ở tam giác vuông thì giao điểm các đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.

Bài tập về đường trung trực của đoạn thẳng

Bài 1: Cho tam giác ABC, hãy tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C đã cho đó.

Cách giải: 

bài tập định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng

Ta có:

  • Điểm O cách đều hai điểm A, B nên suy ra điểm O nằm trên đường phân trung trực của đoạn thẳng AB.
  • Điểm O cách đều hai điểm B, C nên O nằm trên đường trung trực của đoạn  thẳng BC.
  • Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên suy ra O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.

Bài 2:  Một tam giác ABC có

A^là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở P và ở E. Đường tròn tâm O bán kính OA sẽ đi qua những điểm nào trong hình vẽ.

Cách giải

dạng toán định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng

Nhìn hình ta thấy O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra

OA=OB(1)

Lại có O thuộc đường trung trực của đoạn AB nên suy ra 

OA=OC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA = OB = OC.

Vậy đường tròn (O, OA) đi qua các điểm A, B, C.

Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của đường phân giác tam giác ABK trùng với giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Hãy tìm số đo các góc của tam giác ABC.

Cách giải

các dạng toán thường gặp về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng

Trên đây là phần kiến thức về đường trung trực của đoạn thẳng từ định nghĩa, tính chất đến các dạng toán và bài tập ứng dụng. Hi vọng những chia sẻ trên đây của PUD đã giúp các em nắm chắc hơn phần kiến thức quan trọng này. Chúc các em học tốt nhé !