Hệ phương trình đối xứng là phần kiến thức các em được học trong chương trình Toán lớp 10. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng liên quan đến nhiều dạng bài tập và có nhiêu trong các đè thi quan trọng. Để giúp các bạn nắm chắc hơn phần kiến thức này, PUD đã chia sẻ bài viết sau đây,

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò của ( x,y ) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. Trong đó chúng ta chia làm hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản là loại 1 và loại 2.

Các loại hệ phương trình đối xứng

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò ( x;y ) thì từng phương trình không thay đổi hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn ( x;y ) đối xứng trong mỗi phương trình

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò ( x;y ) thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình gồm 2 phương trình đối xứng nhau

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn

định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì

cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1 thì chúng ta xét từng phương trình, thử đổi (xrightarrow y ; yrightarrow x) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình ban đầu hay không.

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 2

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1 thì chúng ta xét phương trình thứ nhất, thử đổi (xrightarrow y ; yrightarrow x) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình thứ hai hay không? Làm tương tự với phương trình thứ hai.

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 

Phương pháp đặt ẩn tổng tích

Đây là phương pháp chung để giải các hệ phương trình đối xứng loại 1.

  • Bước 1: Đặt ( S=x+y ; P=x.y ) . Biến đổi từng phương trình về phương trình mới theo ( 2 ) ẩn ( S;P )
  • Bước 2: Giải hệ phương trình tìm ra ( S;P ) thỏa mãn ( S^2 geq 4P )
  • Bước 3: Giải phương trình (         t^2-St+P ) . Khi đó ( x;y ) là nghiệm của phương trình trên (theo định lý Viet)

Để biến đổi được hệ phương trình về dạng ( S;P ) thì ta cần nhớ một vài đẳng thức quan trọng:

( x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy =S^2-2P )

(|x-y| =sqrt{(x+y)^2-4xy}=sqrt{S^2-4P})

(x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=S(S^2-3P))

***Chú ý: Nếu ( (x;y)=(a;b) ) là nghiệm của hệ phương trình thì ( (x;y) =(b;a) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đây là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng loại 1 khó. Những hệ này nếu nhìn qua thì ta sẽ thấy nó không phải là đối xứng. Nhưng khi chúng ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp, bài toán sẽ trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Từ đó chúng ta có thể giải một cách dễ dàng.

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

các dạng luyện tập hệ phương trình đối xứng loại 1

ý nghĩa của hệ phương trình đối xứng loại 1

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Phương pháp trừ hai vế

Đây là phương pháp chung để giải phương trình đối xứng loại 2.

  • Bước 1: Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình, biến đổi phương trình thu được về dạng phương trình tích: ( (x-y).f(x;y) =0 )
  • Bước 2: Giải phương trình ( f(x;y) =0 ) để tìm mối quan hệ ( x;y ). Sau đó thay vào một phương trình trong hệ ban đầu để giải ra ( x;y ) (chú ý thay cả trường hợp ( x-y=0 ) )
  • Bước 3: Kết luận nghiệm.

Phương pháp hàm số

Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là một dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh gồm 2 ẩn dạng:

{f(x)=g(y)f(y)=g(x)

Nếu ta chứng minh được hàm số f(t);g(t) cùng đồng biến thì giả sử xy ta có :

f(x)f(y)=g(x)g(y)

Mà mặt khác do f(x)=g(y) nên đẳng thức xảy ra. Vậy f(x)=g(x). Giải phương trình thu được [/latex] x [/latex] , từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình

***Chú ý: Trong trường hợp hàm f(t);g(t) cùng nghịch biến thì làm tương tự

Đây cũng là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh nhiều ẩn:

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn

Đây là một dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 khó do có căn thức nên nều trừ trực tiếp như cách thông thường thì sẽ không xuất hiện biểu thứ (xy) ngay. Do đó chúng ta cần phải sử dụng phương pháp nhân liên hợp để biến đổi tạo ra nhân tử (xy). Một số biến đổi cần lưu ý :

Ngoài ra chúng ta có để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn để tạo ra hệ mới không chứa căn.

***Chú ý: Kiểm tra ĐKXĐ trước khi giải.

Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2

bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2

luyện tập hệ phương trình đối xứng loại 2

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình dưới đây.

các dạng hệ phương trình đối xứng loại 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = 3

phân loại hệ phương trình đối xứng

kiến thức về hệ phương trình đối xứng

cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2

hệ phương trình đối xứng và lý thuyết

hệ phương trình đối xứng và một số bài tập cơ bản

Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Định nghĩa phương trình có hệ số đối xứng

Phương trình có hệ số đối xứng bậc ( n ) là phương trình có dạng ( f(x) =0 ) trong đố ( f(x) ) là đa thức với đầy đủ các số hạng sắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp ( ( x^n; x^{n-1}; … ; x; x^0 ) ) sao cho từng cặp hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau, tức là:

(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0)

Với (a_i=a_{n-i}) với ( i=0;1;2;…;n )

Ví dụ : (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a =0) là phương trình hệ số đối xứng bậc ( 4 )

(ax^3+bx^2+bx+a=0) là phương trình hệ số đối xứng bậc ( 3 )

Tính chất của phương trình có hệ số đối xứng

  • Phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn nếu có nghiệm ( x_0 ) thì ( x_0 neq 0 ) và cũng nhận (frac{1}{x_0}) là nghiệm.
  • Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn phân tích được dưới dạng : ( (x+1).f(x) ) vói ( f(x) ) là phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn.

Do đó:

  • Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm ( x=-1 )
  • Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn.

Cách giải phương trình có hệ số đối xứng

Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên ở đây ta chỉ xét cách giải phương trình đối xứng bậc chẵn:

(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0) với ( n ) chẵn

  • Bước 1: Do ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế phương trình cho (x^{frac{n}{2}})
  • Bước 2: Đặt (t=x+frac{1}{x}) với điều kiện ( |t| geq 2 ) , biến đổi phương trình thu được về phương trình ẩn ( t )
  • Bước 3: Sau khi tìm được ( t ) , giải phương trình (t=x+frac{1}{x}) để tìm ra ( x )

Bài viết trên đây của PUD đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 loại 2 cũng như những nội dung liên quan. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn học tốt!.