Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến là phần kiến thức cơ bản các em được học trong chương trình Toán đồ thị hàm số. Phương pháp này vô cùng quan trọng, nếu các em nắm vững các phương pháp, các em sẽ dễ dàng viết được các dạng phương trình tiếp tuyến, nắm chắc hơn kiến thức về đồ thị hàm số. Cùng chia sẻ bài viết sau của PUD để có thêm nhiều bí kíp hay nhé !

1. Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất

Dạng 1: Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm thuộc đồ thị

Bài toán 1

 Cho hàm số y= f(x) có đồ thị (C)  và điểm M0(x0;y0) ∈ C  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)  tại điểm M0(x0;y0).

Phương pháp giải

+ Tiếp tuyến tại một điểm M0(x0;y0) ∈ C có hệ số góc là f'(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0;y0) có dạng: y – y0 = f′(x0)(x– x0). hay y– f(x0) = f′(x0)(x– x0).

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị y = f(x) có đồ thị C và điểm M0(x0;y0) ∈ C . Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) ∈ C
Ta có: y’= 3x²– 12x + 9

Với: x = 2 y = 2 y′(2) = −3. Phương trình tiếp tuyến tại đồ thị (C) A(2; 2) là 

y =– 3(x– 2) + 2  hay y =– 3x + 8.

Ta có: y′ = 3– 3x²
.y” =– 6x.
y” = 0 ⇔ x = 0.

Suy ra toạ độ điểm uốn là (0;2)

y′(0) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:y = 3(x– 0) + 2 hay  y = 3x + 2.

Bài toán 2

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)  tại điểm có hoành độ x = x0 (hoặc y = y0 ).

Phương pháp giải:

+ Với x= x0 ⇒ y= f(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm có hoành độ x= x0 có dạng: 

y = f′(x0)(x– x0) + y0

Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ y = y0.
Ví dụ 3: Cho hàm số y= x³ + 3x² – 1có đồ thị (C).  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ -1

Hoành độ tiếp điểm là x= -1 nên tung độ tiếp điểm là y =1  

y′ = 3x² + 6x ⇒ y′(– 1) =– 3.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:

y =– 3(x + 1) + 1  hay y =– 3x– 2.

 Dạng 2: Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1:

Phương pháp tìm tiếp điểm:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với tại điểm (C) có hoành độ xi ⇒ f′(xi) = k ⇒ x = xi là nghiệm của phương trình f′(x) = k.
+ Giải phương trình f′(x) = k.  , suy ra nghiệm x = {x0, x1,…xn} , n ∈ Z+.
+ Phương trình tiếp tuyến tại xi là: xi y = k(x– xi) + f(xi).

Cách 2

Phương pháp điều kiện kép:
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y = kx + m( m là ẩn) tiếp xúc với đồ thị (C) y = f(x)  : Khi đó ta có phương trình kx + m = f(x) có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m . Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Nhận xét: Vì điều kiện (C1) : y = f(x) (C2) : y = g(x) và tiếp xúc nhau là hệ điều kiện f(x) = g(x) và f′(x) = g′(x) có nghiệm kép chứ không phải điều kiện f(x) = g(x)  phương trình có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số y= f(x) mà phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2 (khi đó điều kiện để có nghiệm kép là Δm = 0 ).

Chú ý

 Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:
+ Dạng trực tiếp.
+ Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α khi đó hệ số góc k = tanα
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b , khi đó hệ số góc k = a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b , khi đó ka =– 1 ⇒ k =– 1/a
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b   một góc α , khi đó: I (k-a)/(1+ka)I= tanα

Ví dụ

Cho hàm số y = x³– 3x²  có đồ thị (C).  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -3.
Ta có:y′ = 3x²– 6x.

Do hệ số góc k = -3 của tiếp tuyến là nên: 3x² – 6x = -3 ⇔ x = 1.
Với Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: x = 1 ⇒ y = −2. y = −3(x– 1)– 2 ⇔ y = −3x + 1.

Ta có: y′ = 3x²– 6x.

Do tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9 ⇔ 3x²– 6x = 9⇔ x = −1 hoặc x = 3

+ Với x = −1 ⇒ y = −3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = −1 là y = 9(x + 1)– 3 ⇔ y = 9x + 6.
+ Với x = 3 ⇒ y = 1. .Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x= 3 là:  y = 9(x– 3) + 1 ⇔ y = 9x– 26
Vậy(C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + 2009 là y = 9x + 6 và y = 9x– 26.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x³ – 3x +2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x
Ta có:y’ = 3x² – 3
Do tiếp tuyến của (C)  vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x  nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9 ⇔ 3x²– 3 = 9 ⇔ x = ±2.
+ Với x = 2 ⇒ y = 4. Phương trình tiếp tuyến tại x = 2 là  y = 9(x– 2) + 4 ⇔ y = 9x– 14
+ Với x = −2 ⇒ y = 0.  Phương trình tiếp tuyến tại  x = −2 là y = 9(x + 2) + 0 ⇔ y = 9x + 18.
Vậy(C)  có hai tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =(-1/9)x là: y = 9x-14 và y = 9x +18

Dạng 3: Cách viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

  • Bước 1: Tính đạo hàm f(x)
  • Bước 2: Giải phương trình f(x) = k để hoành độ x0 của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0(x0;y0), với y0 = f(x0)
  • Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm M0(x0;y0): y = f (x0) (x – x0) = y0

Chú ý:

  • Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì k= 0
  • Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì a = -1/a                                                            

2. Bài tập vận dụng

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1. Kiểm lại rằng điểm M0(1, -2) ở trên đường (C) có phương trình:

x2 + y2– 10x + 4y + 13 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0.

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): x2 + y2– 4x – 3y = 0 phát xuất từ A(-3, -1).

Bài 3. Cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2– 6x + 2y + 5 = 0. Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm.

Bài 4. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.

(C): x2 + y2 + 4x – 8y + 10 = 0,  A(2; 2),    d: x + 2y – 6 = 0

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x – 2my + m2 + 4 = 0.

a. Tìm m để từ A(2; 3) có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C).

b. Viết phương trình các tiếp tuyến đó khi m = 6.

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1. Cho đường tròn (C) và đường thẳng d:

(C): x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0,   d: 2x – y + 3 = 0

a. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các trục toạ độ.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 2. Cho đường tròn (C), điểm A và đường thẳng d.

(C): x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0,        A(-7; 7),          d: 3x + 4y – 6 = 0

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d.

Bài 3. Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và đường thẳng d: y = -3 – 3x

a. Viết phương trình các đường tròn (C1) và (C2) qua A, B và tiếp xúc với d.

b. Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) của hai đường tròn đó.

Với những kiến thức PUD chia sẻ trên đây, hi vọng bạn đã nắm được Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đầy đủ nhất. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết. Còn rất nhiều kiến thức hữ ích khác trên mọi lĩnh vực đang chờ bạn khám phá tại PUD. Luôn đồng hành để chia sẻ bạn nhé !