Trong toán học, chắc chắn các bạn đã được nghe nói đến đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến rồi phải không nào! Để giúp các bạn hiểu rõ hơn và dễ dàng giải các bài tập thì ngay bây giờ chúng ta hãy cùng nhau tham khảo bài viết này nhé!

Đường trung tuyến là gì?

– Đường trung tuyến là một đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó. Trung điểm là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau.

– Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện và một tam giác có 3 đường trung tuyến

Công thức tính đường trung tuyến

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

Ngay sau đây chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu về một số tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. Hãy cùng nhau theo dõi nhé!

– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đồng quy tại một điểm, điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.

– Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

– Khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

– Đối với tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

– Đặc biệt 3 đường trung tuyến của 1 tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.

– Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng ½ cạnh huyền.

Một số dạng công thức tính đường trung tuyến

Để giúp các bạn hiểu thêm về công thức tính đường trung tuyến thì ngay sau đây chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu một số dạng bài tập để củng cố thêm kiến thức nhé!

Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A

Bài giải

Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)

Suy ra AO=\frac{1}{3}BO hay BA=\frac{2}{3}BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)

mà LP và MQ là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)

suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất của ba đường trung tuyến)

Bài 2: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

a. EF = BC

b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Bài giải

a.) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

⇒GC=2GN

mà FG=2GN⇒GC=GF

Tương tự BG, GE và \hat{G1}=\hat{G2} (đd). Do đó ΔBGC=ΔEGF(c.g.c))

Suy ra BC=EF

b.) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC nên AG đi qua trung điểm của BC.

Bài 3:

Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG’. Yêu cầu so sánh:

Những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Bài giải:

a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> GA = ⅔ sáng

Vì G là trung điểm của AG’ => GA =GG’

Suy ra: GG’ = ⅔ AM

Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GB = ⅔ BN

Mặt khác: GM = ½ AG (vì G là trọng tâm)

AG = GG ‘=> GM = ½ GG’

M là trung điểm của đoạn GG’

Vì GM = MG’ và MB = Mc => tam giác GMC = tam giác G’MB

Suy ra: BG’ = CG

Mà CG = ⅔ CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)

=> BG ‘= ⅔ CE

Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG’ bằng ⅔ các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’

mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = ½ BC

I là trung điểm của BG => IG = ½ BG

G là trọng tâm tam giác ABC => GN = ½ BG

Suy ra: IG = GN

=> tam giác IGG’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh.góc.cạnh

=> IG ‘= AN => IG’ = ½ AC

Gọi K là trung điểm của đoạn BG => GK là trung tuyến của tam giác BGG’

Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC => GE = ½ GC

Mà K là trung điểm của BG’ => KG” = EG

Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)

=> tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong

=>CE//BG => tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vị

Do đó tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) => AE = GK

Mà AE = ½ AB nên GK = ½ AB

Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng ½ các cạnh của tam giác ABC.

Trên đây chúng tôi đã chia sẻ đến các bạn công thức tính đường trung tuyến chính xác nhất. Hy vọng qua bài viết này các bạn sẽ có những kiến thức hợp lý nhất. Cảm ơn đã theo dõi bài viết này ngay bây giờ nhé!