7 hằng đẳng thức đáng nhớ là phần kiến thức các em được tìm hiểu trong chương trình Toán lớp 8. Những đẳng thức này được sử dụng thường xuyên trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia các đa thức, biến đổi biểu thức tại cấp học trung học cơ sở và trung học phổ thông. Cùng PUD tìm hiểu sâu hơn về hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản cũng như mở rộng qua bài viết sau đây nhé !

7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản

Tóm tắt 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 

Trong những hằng đẳng thức này, một bên dấu bằng là tổng hoặc hiệu và bên gọi lại là tích hoặc lũy thừa. Dưới đây là bảng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ:

Bình phương của một tổng((a+b)^{2}= a^{2}+2ab+b^{2})
Bình phương của một hiệu((a-b)^{2}= a^{2}-2ab+b^{2})
Hiệu hai bình phương(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b))
Lập phương của một tổng((a+b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b +3ab^{2}+b^{3})
Lập phương của một hiệu((a-b)^{3}= a^{3}-3a^{2}b +3ab^{2}-b^{3})
Tổng hai lập phương(a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}))
Hiệu hai lập phương(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}))

Phát biểu hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời

1. Bình phương của 1 tổng bằng bình phương số thứ 1 cộng hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương số thứ hai

2. Bình phương của 1 hiệu bằng bình phương số thứ 1 trừ 2 lần tích số thứ nhất với số thứ 2 cộng với bình phương số thứ 2.

3. Hiệu 2 bình phương bằng tích của tổng 2 số với hiệu 2 số.

4. Lập phương của 1 tổng bằng lập phương số thứ 1 + 3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 + lập phương số thứ 2.

5. Lập phương của 1 tổng bằng lập phương số thứ 1 -3 lần tích bình phương số thứ 1 với số thứ 2 + 3 lần tích số thứ 1 với bình phương số thứ 2 – lập phương số thứ 2.

6. Tổng hai lập phương bằng tích giữa tổng 2 số với bình phương thiếu của 1 hiệu.

7. Hiệu 2 lập phương bằng tích giữa hiệu hai số với bình phương thiếu của 1 tổng.

Các hằng đẳng thức mở rộng thường gặp 

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

  • ((a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc)
  • ((a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc)
  • ((a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc)

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

  • (a^3 + b^3 = (a+b)^3 – 3ab(a + b))
  • (a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b))
  • ((a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(a+c)(b+c))
  • (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca))
  • ((a – b)^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a))
  • ((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2)
  • ((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc)
  • ((a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2)
  • ((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc)

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

(a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-a^{n-4}b^{3}+…+a^{2}b^{n-3}-a.b^{n-2}+b^{n-1})) (1) với n là số lẻ thuộc tập N

(a^n – b^n = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + a^{n – 3}b^2 + … + a^2b^{n – 3} + ab^{n – 2} + b^{n – 1} ))

Tìm hiểu nhị thức Newton là gì? 

((a + b)^{n} = sum_{k = 0}^{n}C^{k}_{n}a^{n – k}b^{k})

Với (a, b epsilon mathbb{R}, n epsilon mathbb{N}^{*})

Các dạng toán ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

Vậy : A(-1) = 9

Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x2 – 2x + 5

Giải.

Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)+ 4

Mà : (x – 1)≥ 0 với mọi x.

Suy ra : (x – 1)+ 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1

Nên : Cmin = 4 khi x = 1

Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x2

Giải.

Ta có : D = 4x – x= 4 – 4 + 4x – x= 4 – (4 + x– 4x) = 4 – (x – 2)2

Mà : -(x – 2)≤ 0 với mọi x.

Suy ra : 4 – (x – 2)≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2

Nên : Dmax = 4 khi x = 2.

Dạng 5 :Chứng minh đẳng thức

(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Giải.

VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) ->đpcm.

Vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x2 – 4x + 4 – y2

Giải.

Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2

= (x2 – 4x + 4) – y2        [nhóm hạng tử]

= (x – 2)– y2                 [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy : F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Bài 1: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Bài 2: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x  + 6

= x(x – 2) – 3(x  – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8 : Tìm x. biết :

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

Giải.

x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0

x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0

( x – 3 ) (x2 – 4) = 0

( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0

( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0

x = 3 hay x = 2 hay x = –2

vậy : x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9 : Thực hiện phép tính phân thức

Tính giá trị của phân thức  M = \frac{x^3-1}{x^2 -2x+1} tại x = –1

Giải.

ta có : M = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}

\frac{x^2+x+1}{x -1}

Khi x = -1 : M = \frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =\frac{-1}{2}

Vậy : M = =\frac{-1}{2}   tại x = -1 .

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng. Hi vọng thông qua bài viết này, các bạn đã nắm vững được các hằng đẳng thức đáng nhớ để vận dụng linh hoạt vào các dạng bài tập khác nhau. Còn rất nhiều kiến thức hữu ích đang chờ bạn khám phá tại PUD. Hãy đồng hành và chia sẻ nhé !