Trong chương trình học trung học cơ sở, phổ thông các em đều đã được làm quen với những đẳng thức toán học, trong đó 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là những kiến thức quan trọng nhất các em cần phải nắm rõ. Những hằng đẳng thức này sẽ đi theo các em suốt quá trình học tập cho đến khi tốt nghiệp 12. Thế nên các em cần nắm vững phần lý thuyết và bài tập liên quan đến những hằng đẳng thức này để vượt qua các kỳ thi toán sắp tới. Dưới đây là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và mở rộng cùng với các bài tập mẫu và cách giải để các em tham khảo thêm.
7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản
1. Bình phương của 1 tổng
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Bình phương của một hiệu
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Hiệu 2 bình phương
a2 – b2 = (a-b) (a+b)
4. Lập phương của một tổng
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Lập phương của một hiệu
(a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
6. Tổng hai lập phương
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
7. Hiệu hai lập phương
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Các hằng đẳng thức mở rộng
1. Hằng đẳng thức bậc hai
2. Hằng đẳng thức bậc ba
3. Hằng đẳng thức mở rộng khác
Đối với n là số lẽ thì chúng ta áp dụng công thức phía dưới:
4. Nhị thức Newton
Các dạng bài tập ứng dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách giải
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức cho trước
Tính giá trị của biểu thức sau:
A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
Ta có : A = x2 – 4x + 4 = A = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
Vậy : A(-1) = 9
Dạng 2: Chứng minh giá trị biểu thức B không phụ thuộc vào biến x
B = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
LỜI GIẢI:
B =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
= x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x
= 4 : là hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
C = x2 – 2x + 5
GIẢI:
Ta có : C = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
Mà : (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
=> (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 <=> x = 1
Nên vì vậy : Cmin = 4 khi x = 1
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D
D = 4x – x2
LỜI GIẢI:
Ta có : D = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 + x2 – 4x) = 4 – (x – 2)2
Mà ta có: -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x.
Suy ra : 4 – (x – 2)2 ≤ 4 hay D ≤ 4
Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 <=> x = 2
Nên giá trị lớn nhất của D: Dmax = 4 khi x = 2.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
LỜI GIẢI:
VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) =>đpcm.
=> (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
Dang 6: Phân tích các đa thức thành nhân tử
F = x2 – 4x + 4 – y2
Lời Giải:
Ta có : F = x2 – 4x + 4 – y2
= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm các hạng tử]
= (x – 2)2 – y2 [hằng đẳng thức số 2]
= (x – 2 – y )( x – 2 + y) [ hằng đẳng thức số 3]
=> F = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
Bài số 1 :
A = x3 – 4×2 + 4x
= x.(x2 – 4x + 4)
= x.(x2 – 2.2x + 22)
= x(x – 2)2
Bài số 2 :
B = x2 – 2xy – x + 2y
= (x2– x) + (2y – 2xy)
= x.(x – 1) – 2y.(x – 1)
= (x – 1)(x – 2y)
Bài số 3 :
C = x2 – 5x + 6
= x2 – 2x – 3x + 6
= x(x – 2) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x – 3)
Dạng 7: Tìm x, biết : x2.( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
Lời Giải:
x2 ( x – 3 ) – 4x + 12 = 0
<=> x2 ( x – 3 ) – 4(x – 3 ) = 0
<=>( x – 3 ) (x2 – 4) = 0
<=>( x – 3 ) (x – 2)(x + 2) = 0
<=>( x – 3 ) = 0 hay (x – 2) = 0 hay (x + 2) = 0
<=> x = 3 hay x = 2 hay x = –2
vậy : x = 3; x = 2; x = –2
Tìm x:
2x2 – 5x = 0
<=>2x(x – 5) = 0
<=>2x = 0 hoặc x – 5 = 0
<=>x = 0 hoặc x = 5
x3 – 5x2 + 6x = 0
<=> x(x2 – 5x + 6) = 0
<=> x(x – 2)(x – 3) = 0
<=> x = 0 hay x – 2 = 0 hay x – 3 = 0
<=> x = 0 hay x = 2 hay x = 3
Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức trong toán thi vào lớp 10
Bài toán 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2/4+ b2 ≥ ab
Lời Giải:
Xét: VT – VP = a2/4+ b2 – ab = (a/2)2 – 2ba/2 + b2 = (a – b)2
Ta luôn có : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy : a2/4+ b2 ≥ ab
Bài toán 2 : Chứng minh bất đẳng thức sau:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b,c thuộc R
Lời Giải:
Xét :VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac
2(VT – VP) = 2(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)
= (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi a,b thuộc R
(a – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,c thuộc R
(b – c)2 ≥ 0 với mọi giá trị b,c thuộc R
Suy ra : (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Hay : VT – VP = a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac ≥ 0 với mọi a, b,c thuộc R
Vậy : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Bài toán 3 : Chứng minh bất đẳng thức sau
a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Lời Giải:
Xét :VT – VP = a4 + b4 – a3b – ab3
= (a4 – a3b) + (b4– ab3)
= a3(a – b) – b3(a – b)
= (a – b) (a3– b3)
= (a – b)2 (a2+ ab + b2) = (a – b)2 [(a+b/2)2 + 3b2/4)]
Ta luôn có rằng : (a – b)2 ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
(a+b/2)2 + 3b2/4) ≥ 0 với mọi giá trị a,b thuộc R
Suy ra : VT – VP ≥ 0
Vậy ta có: a4 + b4 ≥ a3b + ab3
7 hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng cùng với các dạng bài tập về hằng đẳng thức và cách giải trên đây hi vọng sẽ giúp các em tìm hiểu và mở rộng thêm nhiều kiến thức về hằng đẳng thức cho môn Toán học. Chúc các em học giỏi và vượt qua những kỳ thi một cách thuận lợi, thành công!
