pud.edu.vn

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập

by

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức là phần kiến thức các em được học trong chương trình Toán lớp  9. Đây là phần kiến thức vô cùng quan trọng liên quan đến nhiều dạng bài tập khác nhau. Để giúp các em nắm chắc hơn phần kiến thức bổ ích này, PUD đã chia sẻ bài viết sau đây.

Cách trục căn thức ở mẫu

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu

+) Khi đưa thừa số A^2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|:

\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B với B \geqslant 0

+) Khi đưa thừa số A không âm vào trong dấu căn bậc hai ta được A^2:

A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} với A \geqslant 0;\,\,B \geqslant 0

Chú ý: A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} với A < 0;\,\,\,B \geqslant 0.

+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Nhân tử và mẫu với thừa số phụ thích hợp để mẫu là một bình phương.

\sqrt {\frac{A}{B}} = \sqrt {\frac{{A.B}}{{B.B}}} = \frac{1}{{|B|}}.\sqrt {AB} với AB \geqslant 0;\,\,B \ne 0

+) Trục căn thức ở mẫu:

\frac{A}{{\sqrt B }} với B > 0

Bài tập trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của các biểu thức sau:

a) a\sqrt {\frac{b}{a}} b) x\sqrt {\frac{5}{x}}

Lời giải:

a) Nếu a > 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}} = \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = \sqrt {ab}

Nếu a < 0 thì a\sqrt {\frac{b}{a}} = - |a|\sqrt {\frac{b}{a}} = - \sqrt {\frac{b}{a}.{a^2}} = - \sqrt {ab}

b) Để căn thức có nghĩa, ta có x > 0

x\sqrt {\frac{5}{x}} = \sqrt {\frac{5}{x}.{x^2}} = \sqrt {5x}

Trục căn thức ở mẫu của biểu thức

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu của biểu thức

+) Với các biểu thức A,B (B>0), ta có: \frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}

+) Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0, A\neq B^{2}), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^{2}}

\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^{2}}

+) Với các biểu thức A,B,C(A\geq 0,B\geq 0,A\neq B), ta có:

\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}

\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}

Bài tập trục căn thức ở mẫu lớp 9

Bài 50 (trang 30 SGK Toán 9 Tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{\sqrt{10}.\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}

\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{1}{3\sqrt{2^{2}.5}}=\frac{1}{3.2\sqrt{5}}=\frac{1\sqrt{5}}{6\sqrt{5}.\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{6.5}=\frac{\sqrt{5}}{30}

\frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}}=\frac{(2\sqrt{2}+2)\sqrt{2}}{5\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}

Bài 52 (trang 30 SGK toán 9 tập 1): Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa.

\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}

  • \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{1(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y}

Do\ x\neq y\ nên \sqrt{x}\neq \sqrt{y}

  • \frac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{2ab(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}

Do\ a\neq b\ nên\ \sqrt{a}\neq \sqrt{b}.

Các bài toán trục căn thức nâng cao

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} b) \frac{26}{5-2\sqrt{3}}

Lời giải:

a) \frac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 6 }}{2}

b) \frac{{26}}{{5 - 2\sqrt 3 }} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}} = \frac{{26\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)}}{{25 - 12}} = 2\left( {5 + 2\sqrt 3 } \right) = 10 + 4\sqrt 3

Lý thuyết trục căn thức ở mẫu bậc 3

Công thức:

\frac{M}{\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b}}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{(\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}=\frac{M(\sqrt[3]{a^{2}}\pm \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}})}{a\pm b}

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu:\frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}}

Lời giải:

\begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}} \right)}} \hfill \\ = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{{9 - 6}} = \frac{{\sqrt[3]{{{9^2}}} + \sqrt[3]{{9.6}} + \sqrt[3]{{{6^2}}}}}{3} \hfill \\ \end{gathered}

Bài tập tự luyện trục căn thức ở mẫu

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau với x ≥ 0:

a) 4\sqrt x - 5\sqrt x - \sqrt {25x} - 3\sqrt x - 5

b) \sqrt {16x} - 5\left( {\sqrt x - 2} \right) - \sqrt {49x} - 5

Bài 2: Rút gọn biểu thức:

a) \frac{2}{{x - 3}}\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{4{y^4}}}} với x > 3 và y ≠ 0

b) \frac{2}{{2x - 1}}\sqrt {5{x^2}\left( {1 - 4x + 4{x^2}} \right)} với x > 0,5

Bài 3: Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) \sqrt {\frac{1}{{540}}} b) \sqrt {\frac{{11}}{{600}}} c) \sqrt {\frac{5}{{50}}} d) \sqrt {\frac{3}{{98}}}

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{5}{{2\sqrt 5 }} b) \frac{{2\sqrt 2 + 2}}{{5\sqrt 2 }} c) \frac{3}{{\sqrt {10} + \sqrt 7 }}

Bài 5: Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được):

a) \frac{{5\sqrt 3 - 3\sqrt 5 }}{{5\sqrt 3 + 3\sqrt 5 }}

b) \frac{{1 - \sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} với a ≥ 0

Bài 6: Cho biểu thức \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} (với x ≥ 0; x ≠ 3). Trục căn thức ở mẫu của biểu thức A.

Bài 7:

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: \frac{4}{{\sqrt 3 }} và \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}}

b) Rút gọn: B = \left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right) (với a > 0 và a ≠ 1)

Chuyên đề trục căn thức ở mẫu của biểu thức: Lý thuyết và Bài tập đã được VnDoc chia sẻ trên đây. Gồm lý thuyết và bài tập sẽ giúp ích cho các em nắm chắc kiến thức, từ đó vận dụng tốt vào giải bài tập phần cuối bài. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số bài tập Toán 9 các em tham khảo nhé

Bài Viết Liên Quan

Khí CO2 là gì? Tính chất, ứng dụng và tác hại của khí CO2 - Giadinhphapluat.vn
Khí CO2 là gì? Tính chất, ứng dụng và tác hại của khí CO2
Phân tích bài thơ Cảnh Ngày Hè của Nguyễn Trãi sâu sắc nhất
Tổng quát kiến thức về định lý Talet và một số bài tập liên quan - Giadinhphapluat.vn
Định lý Talet – Lý thuyết & bài tập ví dụ cơ bản

Footer

Bài viết mới

Chuyên mục

Chuyên mục